高研班第十五讲：数谜诗

（一）
顾名思义就是数字猜谜诗，它以数字谜语，又似趣味数学。它犹如今的一道趣算数题，文字表达采用古典诗可口可歌的形式表现出来，形式活泼生动。清人徐子云著《算法大成》，其中有这样一首数谜诗:

（1）
魏魏古寺在山林，不知寺内几多僧。
三百六十四只碗，看看周遭不差争
三人供食一碗饭，四人同吃一碗美。
请问先生明算者，算来寺内几多僧?

这首诗是一道数学题。诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个？
解：设寺僧数为X 个，那么吃饭的碗的总数是x/3个，吃羹的碗的总数是x/4个。根据一共有364只碗可列出方程：
x/3+x/4=364
解得：x=624
答：寺内有寺僧624个。
（2）
小小寞湖有新莲，婷婷五寸出水面。
孰知狂风荷身轻，忍看素色没波涟
渔翁偶遇立春早，残卉离根二尺全。
借问英才贤学子，荷深几许在当年
提示：设水深为X,则荷深为X+5,“没波涟”的荷深就成了直角三角形的斜边。即用勾股定理可解。答案：4.25尺。

(3)
另外有一首写荷花的数学诗：

平平湖水清可鉴，石上半尺生红莲。
出泥不染亭亭立，忽被吹到清水面。
渔人观看忙向前，花离原位二尺远。
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？

根据勾股定理列式算得，湖深为3.75尺。
(4)
古代元朝时，著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：

 我有一壶酒，携着游春走。
遇店添一倍，逢友饮一斗。
店友经三处，没了壶中酒。
借问此壶中，当原多少酒。

用反推法解：
三遇店时有酒1÷2斗，那么，二遇时有酒1÷2+1斗，三遇店有酒（1÷2+1）÷2斗，于是一遇花时有酒（1÷2+1）÷2+1斗，一遇店时有酒，即壶中原有酒的计算式为：

[（1÷2+1）÷2+1] ÷2=7/8（斗）= 0.875斗
故壶中原有7/8斗酒。
以上解法的要点在于逆推还原，这种思路也可用示意图或线段图表示出来。当然，若用代数方法来解，这题数量关系更明确。设壶中原有酒x斗，据题意列方程：

2[2（2x-1）-1] -1=0
解之，得x=7/8(斗)
再看以下古数学题：
(5)
我问开店李三公，众客都来到店中。
一房七客多七人，一房九客一房空。

问有几客几房中?
1、一元一次方程解：设有x间房。
7x+7=9（x-1）
9x-7x=7+9
2x=16
x=x
8×7+7
=56+7
=63

有8间房，63个人。
2、二元一次方程解：房间：X，人：Y。

y=7x+7
y=9(x-1)
x=8
y=63 

(6)
著名的数谜诗：李白饮酒

李白每天不离酒，三餐依次增一斗；
三餐斗数两两乘，乘积相加一四九；
要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗？

 设午餐是x斗，三餐依次增一斗，所以早餐x-1，晚餐x+1。
斗数两两相乘：是x(x-1),(x-1)(x+1),x(x+1)，相加149
x(x-1)+(x-1)(x+1)+x(x+1)=149
x2-x+x2-1+x2+x=149
x=7
三餐分别饮6，7，8斗
还有一首类似的二元一次方程組的饮酒数学诗：

(7)
肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇。
好酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人。
共同饮了一十九，三十三客醉颜生。
试问高明能算士，几多醨酒几多醇？

 这道诗题大意是說：好酒一瓶，可以醉倒 3 位客人 ; 薄酒三瓶，可以醉倒一位客人。如果 33 位客人醉倒了，他們总共飲下 19 瓶酒。试问：其中好酒、薄酒分別是多少瓶？

解：设好酒为x,薄酒为y
x+y=19
3x+1/3y=33
x=10
y=9
答：好酒10瓶,薄酒9瓶。

(8)
著名《孙子算经》中有一道“物不知其数”问题。这个算题原文为：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰二十三。”这个问题流传到后世，有过不少有趣的名称，如“鬼谷算”、“韩信点兵”等。程大位在《算法统宗》中用诗歌形式，写出了数学解法：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆月正半，除百零五便得知。

 这首诗包含着著名的“剩余定理”。也就说，拿３除的余数乘７０，加上5除的余数乘21，再加上7除的余数乘15，结果如比105多，则减105的倍数。上述问题的结果就是：（2×70）＋（3×21）＋（2×15）－（2×105）＝23
（9）
这个问题在宋代一本笔记书里也有一个诗歌解法：

 三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇。
七度上元重相会，寒食清明便可知。

 明代数学家程大位编著的《算法统宗》
远望巍巍塔七层，红光点点加倍增。
共灯三百八十一，请问各层几盏灯？

 解：设最上层为x盏灯,则可列方程：
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381
解得x=3  即：
第一层：192
第二层：96
第三层：48
第四层：24
第五层：12
第六层：6   
第七层：3

（10）
《李白沽酒探友》，这是流传于我国民间的一道著名的数诗算题。
李白有一次，他买了一批好酒，分若干条船装好去探望朋友。那位朋友住在很遥远的地方，要经过四段路程。他一路走一路喝，每一程酒量添一倍，到朋友家时，船上的酒居然全被他喝光了。朋友问他究竟买了多少酒，用了几条船来装？李白于是给朋友出起了难题：

三百六十一只缸，任君分作几船装。
船儿总数是多少，每船便装多少缸。
不许一船多一只，不容一船少一缸。
问君每船装几缸？几条船儿走大江？

诗题的意思是：用船装运361只水缸，每条船装的只数必须相等，并且船的条数又必须和每条船装的水缸只数相等。求船的条数和每船装的缸数。懂得“开方”的读者把题目一读，就会知道这是一个“开方”的算题。但是，没学过“开方”的读者能否解答出这一道题目呢？
用“分解质因数”可解。这道题目实际上是要我们把361只缸平均分作若干份，且要求每一份的数量与总的份数相等。这只需要将这个361分解质因数就行了。因为：361=19×19
所以每船缸数=19只；总的船数=19条。
当然，熟悉开方运算的则可由开方求得：√361=±19
因负数不合题意，应舍去，所以，得数也和上面的情况一样。

（11）
三百七十八里关，初行健步不为难。
脚痛每日减一半，六天才能对其关。
要问每天行里数，请君仔细周详算。

所以假设第六日走了x里路，那么总的就有x+2x+4x+8x+16x+32x=378，解得x=6。所以：

第一天走了192里
第二天走了96里
第三天走了48里
第四天走了24里
第五天走了12里
第六天走了6里

（12）
有个学生资性好，
一部《孟子》三日了。
每日添增一倍多，
问君每日读多少。
（注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍）
根据题意构造以a为首项，公比为2的等比数列，求出前三项和建立等量关系，求出a即可求得所求；
解：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为7a=34685，解得a=4955，则2a=9910，即该君第二日读的字数为9910
故答案为：初日、二日、三日分别读4955字、9910 字、19820字。
以上十二首是选录的“数学运算诗谜”。

二、
以下将分别贴出：谜面以数字诗的形式出现，谜底是数字；谜面是数字，而谜底是诗；物谜诗中含数字；字谜诗中含数字；连环数字诗谜。

（1）
谜面以数字诗的形式出现，谜底是数字：
《断肠谜》[宋]  朱淑真
相传宋代女诗人朱淑真，出身官宦家庭，从小受到良好教育，工于诗词，擅长丹青，且精通音律。她写的《生查子》词深受后人赞赏。据说她婚姻不幸，嫁给了一位读过不少书的商人。结婚不久，丈夫外出经商，很久没回家。商人重利轻别离，外出经商，久居异乡不归，并另谋新欢。朱淑真苦闷幽怨，郁郁寡欢，诗词多哀怨之作。著有诗集《断肠集》和词集《断肠词》。她自伤身世，所以诗集、词集都以“断肠”为名。
朱淑贞还有一首《断肠谜》，一共十句，每句打一个数字。谜面是这样的：

 下楼来,金钱卜落;
问苍天,人在何方;
恨王孙,一直去了;
詈怨家,言去难留;
想当初,吾错失口;
有上交,无下交;
皂白何须问;
分开不用刀;
从今莫把仇人靠;
千言相思一撇消！

第一句，“下”失落了“卜”乃是“一”；
第二句，“天”没有“人”就成了“二”；
第三句，“王”去掉中间的一笔竖直，当然是“三”；  
第四句，“詈”下半去除“言”宇，只剩下“四”；
第五句，“吾”失了“口”为“五”；
第六句，“交”字没有下面交叉的撇捺就是“六”；
第七句，“皂”字上部一“白”扔下不管，无疑是“七”；
第八句，“分”字分为上下两半，“刀”抛开不用，遂成为“八”； 
第九句，“仇”旁的“人”不要，为“九”；
最后一句，“千”消去上面一撇，只有“十”字。
谜底依次为“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十”十个数字。
朱淑贞一生抑郁不乐，此谜也是文字凄婉。她的文才巧思令人叹服。

 （2）
《断肠谜》 [清]  弘历
乾隆皇帝（弘历）很欣赏纪晓岚的渊博学识，有时候故意出难题考他。有一次，乾隆出了这样一个颇为有趣的词谜：

 下珠帘焚香去卜卦，
问苍天，侬的人儿落在谁家？
恨玉郎，全无一点真心话。
欲罢不能罢，
吾把口来压！
论文字交情不差，
染成皂，难讲一句清白话。
分明一对好鸳鸯，却被刀割下，
抛得奴，力尽手又乏。
细思量，口与心俱是假。

 乾隆得意洋洋地问纪晓岚：“老爱卿，你可知道这个词谜的谜底是什么？”
纪晓岚沉思了片刻答道：“圣上才高千古，令人敬佩！这表面上是一首女子绝情词，实际上各句都隐藏着一个数字。”

原来谜底是“一二三四五六七八九十”。

解法是：
“下”去“卜”是一；
“天”不见“人”是二；
“王”无“一”是三；古时候“一”（也可竖写成“1”）
“罢”去了“去”是四；
“吾”去了“口”是五；
“交”不要差（叉谐时，意指×）是六；
“皂”去了“白”是七；
“分”去了“刀”是八；
“抛”去了“力”和“手”是九；
“思”去了“口”和“心”是十。

 （3）
《玉房怨》[清]  顾春
清代某皇室子弟之妾、满族女词人顾春的《玉房怨》，用一至十的10个数字作谜底，依序撰写了一首词，深沉地抒发了元宵之夜独守空闺的怨愤心情：
元宵夜,兀坐灯窗下。
问声天,人在谁家?
恨玉郎,全无一点直心话。
叫奴欲罢不能罢。
吾今舍口不言他。
论交情,曾不差。
染尘皂,难说清白话。
恨不得,一刀两断分两家。
可怜奴,手中无力能抛下。
我今设一计,教他无言可答。

 顾春这首《玉房怨》，现据有关记载,与宋代著名才女朱淑贞的《断肠谜》，又何等相似！

 （4）
《怨妇词》民间流传
我国民间有许多谜语，构思精巧，耐人寻味，特别是以诗词为谜面的隐语谜，更是有意有情。《怨妇词》一谜长期流传在民间，读来情真意切，它以一个被遗弃的妇人愤怨之情为词，更是感人，其底面扣合巧妙，字字有味。其词是：

 与子别了，
天涯人不到，
盼春归日落行人少。
欲罢不能，
你叫吾有口难分晓。
好相交你抛得我有上梢无有下梢。
皂热难分白，
分手不用刀。
无人不为仇，
千相思还是撇去了好。 

这条词谜连扣十个数字，整条词谜以损减法破之，谜面又相连成文，十分难得，别有一番情趣，流传较广。它的原型可能是宋代女诗人朱淑真的一则谜语，当然，也可能朱淑真是将民间流传的前述词谜改编成了新体。现剖析如下：

“与子别了”这第一句是把“子”的“了”去掉而得谜底“一”字；
“天涯人不到”是将“天”字去掉“人”而余下“二”字；，
“盼春归日落行人少”则是将“春”字中的“日”与“人”舍去而为“三”字；
“欲罢不能罢”的“罢”是繁体字，因此去掉“能”则为“四”；，
“你叫吾有口难分晓”是将“吾”的“口”去掉则得底为“五”字；
“好相交你抛得我有上梢无有下梢”是将“交”字下边去掉成为“六”字；
“皂热难分白”是将“皂”字去掉上边的“白”而得谜底“七”字；
“分手不用刀”是“分”字去掉“刀”而成“八”字；
“无人不为仇”是“仇”字去掉“人”字偏旁成为“九”字；
“千相思还是撇去了好”，则是将“千”字去掉上边的一撇而剩下“十”字了。

（5）
《怨情郎》流传民间

下午去卜家，
半天无人答话。
恨玉郎全无一点直心话！
叫奴欲罢不能罢，
这事儿气得吾口哑。
想交情也不差，
现在一刀切成两段，
分明是撇下刀一把。
无力把手抛，
细思量心和口都是假！

（6）
七绝·数字谜语诗（十首）

 启蒙识字常授先，倒顺排名列最前。
万事蓄胸皆可忘，唯它易记印心间。（打一数字）

 终极比试总接招，始距颠峰一步遥。
永与亚军同步走，古今荣誉路人昭。（打一数字）

 王孙公子好荒唐，丢下功名直去藏。
此举行为难以解，若知真相问三娘。（打一数字）

 有家羁旅好从容，丢下皮革弃马冲。
只剩娇儿方院守，春秋冬夏乐其中。（打一数字）

 加人便可成一队，减竖方称土霸王。
添口非言能代我，单双数字位中央。（打一数字）

 一字生得怪异多，数中有数两相和。
出征选日求吉利，只在星期做大哥。（打一数字）

 这字成双生事变，此节聚会爱绵绵。
若如马上知根底，还望多查史典篇。（打一数字）

 村头财主李扒皮，自幼闲游吝啬奇。
一次偷鸡失左手，为何巴掌有人迷。（打一数字）

 仇人去了属我巍，日落身边更碧辉。
一点胸中成细药，撇下儿孙乙必追。（打一数字）

 早日离家去远方，定能分满慰爹娘。
如今又设一囊计，教你无言辩论长。（打一数字）

谜底：依顺序为一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。

（7）
物谜诗中含数字：

古代诗人的咏物诗，诗面上绝不能提及本物，近似隐语，可视为诗谜，像唐诗人贺知章的《咏柳》：

碧玉妆成一树高，
万条垂下绿丝绦。
不知细叶谁裁出，
二月春风似剪刀。

 《咏雪》 郑板桥（清）

 一片两片三四片，
五六七八九十片。
千片万片无数片，
飞入芦花皆不见。
这首诗前三句平淡无奇，如稚童在数数，最后依据去奇峰突起，令人耳目一新，只见大雪与芦花融为一体，大地一片白茫茫。

 （8）
字谜诗中含数字：
此类诗谜如：其它像唐代皮日休所作一诗：
欲知圣人姓，田八二十一；
欲知圣人名，国头三屈律。
(谜底：黄巢)

 《醒世恒言·苏小妹三难新郎》中的
两日齐相投，四山环一周。
两王住一国，一口吞四口。

 (谜底：田)

 民间字谜类似的很多，如： 　
言对青山不是青，二人土上说分明。
三人骑牛牛无角，草木之中有一人。
(谜底：请、坐、奉、茶)
一字生得奇，共唱四出诗：
第一出霸王举鼎，第二出王婆骂鸡。
第三出武松打虎，第四出吴汉杀妻。
(谜底：捌)

避数诗是数谜诗中另类，属于暗嵌，可以叫做隐身数谜诗，有人称为暗藏数字诗。诗句中隐藏数字，但数字没有明说，要当谜语去求破解，但又不全是数谜诗。也是一种巧妙的文字游戏，

了解即可。