2024 年，吉林、黑龙江、安徽、江西、广西、贵州、甘肃等第四批高考综合改革省份将首考落地，为实现平稳过渡，相关省份在1 月19 日、20 日组织了适应性演练。数学科适应性测试题由教育部教育考试院命制。适应性测试卷公布后，网上又出现了大量吐槽，还有危言耸听的“高考数学大变天了”。认真看了老师们的说法，说句不中听的话，许多老师并不懂得如何研究高考题，大家的关注点是多少道题目、各板块题目位置的变化、题目赋分的变化、考所有板块还是选考几个（解答题只考了导数、统计概率、立体、解析几何、新定义）、题目的解法有多少种，更令人哭笑不得的是还有“立体图形怎么这么斜？”的疑问。特别是对最后这道题目：

老师们都说这道题目“超纲了”，这是不是要让学生去学奥数？至少要学数论的相关知识，有“专家”还真的介绍了这道题的“背景知识”，如“整除性”、“同余及其基本性质”、“完全剩余系和既约剩余系”、“费马小定理”、“离散对数”等等。显然，这些讨论有表面化的嫌疑，其中还有许多牢骚。发牢骚不能解决问题，对广大教师把握高考数学命题改革大方向没什么益处。

那么，我们该如何客观、正确地分析这份卷子呢？如何从中得到一些高考复习的启示？这里我想谈一点不成熟的想法。不当之处敬请批评。

首先，这份卷子减少了题目数量，这一改革方向非常正确，应该给予充分肯定。我认为题目还可以再少些，我当年参加高考时，数学试卷就是10道题左右。试题数量适当（当然，多少题才“适当”需要研究，但现在题目太多是肯定的），好处就是可以加强对数学思维过程的考查，这是符合数学学科特点的，也反映了数学课程的育人功能。

实际上，数学高考试卷搞到20多道题，有点受美国“标准化考试”的影响，试图通过选择题、填空题等等增加所谓的覆盖面并提高公平性，愿望是好的，但效果不理想，而且是导致高中数学教学搞题型、套路和机械刷题，通过“刺激-反应”训练以提高解题速度等等的根源。因为题目数量多，如果速度上不来就做不完，所以应对的办法就是通过刷题训练提高反应速度，达到“一看就会，一做就对”的程度，这显然与数学的本质属性相违背。

其次，落实“遵循教育规律，注重考查对基础知识、基本技能、基本方法的深刻理解，引导学生要知其然，更知其所以然，学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，引导教学把精力放在讲透课程重点内容上。强调在深刻理解基础上的融会贯通、灵活运用，不考死记硬背、不出偏题怪题，平和中有新意，灵活中见潜力，实践中出真知，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养”的高考命题改革精神。

我们很容易发现，这套试题的大部分都是常规题，其中1，2，3，4，10，12，15 题（共44 分）是简单题，就是考查基本概念和基本运算；5，6，7，9，11，13，16，17 题（共62 分）是中档题，重点考查常规计算和推理。这些题目加起来有106 分之多，它们与教材中的题目并无二致，考查的就是“基础知识，基本技能，基本方法”，如果学生熟悉教材，那么完成这些题目的解答是比较容易的。在与老师的交流中我经常问，“你们学校数学高考均分是多少？”绝大部分的回答都是80 分以内。对此，我提出的建议是：

让学生把教材从头到尾仔细读几遍，把概念理解清楚，教材中的定理、公式等都要会推导，教材中的题目大部分要过关，那么均分90 分以上（也就是个及格）绝对没问题。上新课时不要赶进度，认真仔细地把教材搞懂，在夯实基础上下功夫，也不必用什么教辅资料（如果要给尖子生加码，老师可以每天给他们出一两道综合性的、灵活性较大的题目，让他们自己去钻研就可以了）；在高考备考阶段，可以按照函数、几何与代数、概率与统计对教材进行整合，引导学生在知识的变式表达、联系与综合上下功夫，教材上的一些典型题目要让学生反复琢磨，并进行适当拓展；另外，还要适当安排数学建模活动、数学探究活动。

我认为，这套测试卷已经说得再明确不过了：教学如果再不重视教材、重视概念，不在夯实基础知识上下功夫，不给学生留出充分的独立思考、自主学习的时间和空间，而是用大量刷题把所有时间占满，那么结局必然是高考败北。

第三，落实高考命题改革“注重学用结合，创设真实情境，紧密结合国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际等创设情境，充分考虑学生学习和生活实际，把课本知识与‘具体真实的世界’联系起来，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决实际问题的能力，引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养”的要求，第19 题就是代表。这个题目的背景是盖莫尔（EIGamal）加密体制，这是一种国际公认的较理想公钥密码体制，是网络上进行保密通信和数字签名的较有效的安全算法，在网络安全加密技术中有广泛应用。我想，这个背景我们都不熟悉，相信大家也都明白它不是要考查数论、密码学等方面的知识。这个题目考查的是学生的数学思维方式，包括对研究对象定义的理解，基于定义的逻辑推理、数学运算，当然还有阅读理解、数学表达等等。我估计，在阅读这个题目时，数学符号将会是很大的拦路虎，而符号化正是数学文本的独特之处。所以，教学中加强教材的阅读理解，引导学生读一点数学书，加强实际问题转化为数学问题的训练（包括符号化表达的训练），对提升学生的应试水平是非常重要的。同时，为了落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求，考查学科知识的综合应用能力，测试卷在创设情境时，加强了数学知识的内在联系与综合。例如，第 8 道题：

融合了双曲线定义、向量数量积、余弦定理、平行四边形性质等，充分体现了解析几何“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”的学科思想。只要基本概念清楚，常用知识牢固，这个题目就可以非常简洁地给出解答（网上有的解答有点绕弯子）。

第四，落实高考命题改革突出思维品质考查的要求，“通过材料信息的丰富性、试题要素的灵活性、解题路径的多样性等增强试题的开放性，强调思维过程和思维方式，鼓励学生多角度主动思考、深入探究，发现新问题、找到新规律，引导学生在学习和备考中减少死记硬背和机械刷题。”例如，第 18 题：

解答第（1）问时，利用抛物线的对称性就可以直接得出定点一定在 x 轴上，据此可以为解题提供明确的思路。看网上的一些解答，圆锥曲线基本性质在解题中并没有充分发挥作用，我觉得这也是导致解析几何复杂运算的根源之一。对于第（2）问，如果按“套路”解题，求出 A，B，D，E 的坐标，推出直线 AE，BD 的方程，求出交点 G 的坐标，再写出△GMN 面积并求其最小值，这个容易想到但计算量很大。但如果能分析一下图形的结构，发现△GMN与四边形 ADMN 的面积相等，那么就可以通过四边形 ADMN 的面积而轻松地求出△GMN 面积的最小值。我曾经在一篇“编后语”中强调，解析几何中的运算是“带有几何特征的运算”，如果只知道“死算”，不注意利用图形要素、相关要素的基本关系以及图形之间的相互关系（例如本题中的对称、垂直等），那么解析几何的运算难点是很难突破的。其实，这个命题思路也不新鲜。在人教A 版推导点到直线的距离时就有这样的“思考”问题：

对于解析几何的复习备考，我曾经在很多场合提醒，大家一定要注意解析几何的学科特点，它的研究对象是几何图形，研究工具是直角坐标系，采用数形结合思想，通过代数方法解决问题。所以，解题时必须先分析清楚问题中几何图形的要素、要素间的基本关系，然后再建立方程解决问题，这样才能有效避免复杂运算。所以，平面几何知识，尤其是三角形知识，是非常重要的。正因为如此，人教A 版教材中专门设计了数学探究活动“用向量方法研究三角形的性质”，其目的就是为了让学生系统梳理三角形知识，完善三角形知识结构，从而为三角函数、解三角形、立体几何、解析几何等板块中的问题解决奠定基础。可惜太多老师不了解教材的这个意图，教学中不负责任地放弃了这个内容。限于篇幅，不再讨论下去了。

最后还是想对第 19 题表达一个观点：它本来就不是为大多数学生命制的，而是为了拔尖人才选拔的需要，更何况这只是一次“适应性演练”，所以我们也不必太在意，对压轴大题应平常心待之。进一步地，如果高考命题只追求均值而不顾方差，优秀学生不能脱颖而出，那么我国基础科学研究人才培养就会受到极大阻碍，建设创新型国家的目标也就很难实现。另外，这类题目的解答其实并不是靠老师教会的，因为它考查的不是具体知识，而是数学的思维方式。我认为，老师应树立这样的观念：

课堂上应该以解决基础题、中档题为主，“压轴题”是给那些数理尖子生做的，应通过差异化教学，作个别辅导来解决；进一步地，高分是学生自己有这个水平，并不是教出来的。

这样，有些老师提出的疑惑，如：一线教师是否能用数论的知识(同余的概念及费马小定理）讲解这一问题？今后数论的知识是否会进入高中数学课堂？等等，是完全没有必要的。其实，你就根本不需要讲解这个题目。

全国数学教育名家章建跃简介

章建跃，博士，中国教育学会中学数学教学专业委员会理事长、学术委员会主任，人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员，《中国数学教育》杂志主编。曾任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。主持人教版初中数学、高中数学课标教材(A版)的研究、编写与实验工作，担任《普通高中课程标准实验教科书·数学》(A 版)主编。

来源：邹生书数学

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